介绍：当对被夹紧的阿尔门试片进行喷丸时，我们针对试片变形引入了一种复杂的曲线（见图1），其中故意夸大了曲线的垂直比例。“曲率”被定义为1/R ，其中R是曲面的半径。最大被夹紧挠度显示为h。

图1喷丸后、被夹紧的阿尔门试片的复杂曲率

松开压紧螺钉后，试片将进一步发生变形，并采用如图2所示的更简单形状。点A到D分别表示压紧螺钉在阿尔门测具上的四个位置。正是使用这个简单的形状测量了总挠度h，其中h=hl+h2。总挠度即为“阿尔门弧高”，随着喷丸强度的增加而增加。

图2阿尔门试片的曲率及对弧高的对应影响

常见错误是，人们认为发生挠曲完全是由喷丸引入的残余应力系统造成的。然而，如果我们减少喷丸后阿尔门试片的应力，仍然会有很大一部分的变形存在。事实上，挠曲是由塑性永久变形与从固定夹具释放时喷丸引起的残余应力系统的调整共同造成的。

常识告诉我们，对于给定的喷丸强度，较薄的阿尔门试片将比较厚的阿尔门试片变形更多。直觉上我们知道较薄的试片比较厚的试片更柔韧（刚性更低）。

标准阿尔门试片N、A和C的标称厚度分别为0.79 mm、1.30 mm和2.39 mm。对于产生“0.15 mmA至0.61 mmA”的弧高值的喷丸强度，应使用标准A试片。对于低于“0.15 mm A”的强度，建议使用N试片（参考SAE J443），而对于高于“0.61 mmA”的强度，建议使用C试片。众所周知，如果对N和A两种试片进行相同的喷丸处理，N试片将比A试片变形更多。同样地，再对A和C两种试片进行相同的喷丸处理，则A试片将比C试片变形更多。试片N、A和C（相同喷丸条件下）读数之间的近似关系如下（参考 SAE J442）：

C试片读数×3.5=A试片读数，因此A/C=3.5

A试片读数×3.0=N试片读数，因此N/C=3.0

图3 N试片与A试片的具备严格3/1弧高比的阿尔门饱和曲线

上述关系可以用图形表示，如图3所示。图3中N试片的曲线由实际数据生成，而A试片的曲线由所有N试片数据除以3生成。因此，基于这种情况，在所有喷丸时间内，N试片和A试片必须始终有严格的3:1弧高比。两条曲线的饱和时间T必须相同。2T处的弧高要求比T处高10%。对于图3中的N和A试片的饱和曲线，10%的差值分别为0.048 mm(0.00189”)和0.016 mm(0.00063”)。在使用特定喷丸条件（S170丸料、2bar气压、332 mm喷枪距试片距离、8.12 g/s喷丸流量）时，N试片将比A试片更加适合。这是因为需要非常仔细地注意到弧高测量时的各个方面，才能准确检测到A试片0.016 mm的弧高增加。

我们采用试片刚性和喷丸引起的弯矩的组合，检验了3:1和3.5:1近似关系的起源。刚性与试片厚度的立方成正比，而弯矩与残余应力分布有关。将阿尔门试片固定在试片座上后，对试片一面进行喷丸，会在该面引入一个压缩应力表面层，对应的力平行于被喷丸面。为了达到平衡，这个力必须有一个数值相等且作用方向相反的力。平衡力的分布影响施加在试片上的净弯矩。平衡力的影响与次表面拉伸残余应力分布直接相关。根据两种类型的次表面拉伸残余应力分布来考虑该轮廓。

分别对N和A试片对以及A和C试片对进行了实验，以期验证模型的有效性和近似关系的准确性。结果发现，测量的挠度比（N/A和A/C）分别低于和高于3:1和3.5:1公布的关系。这些发现可以用平衡残余应力因子的组成比例来解释。

阿尔门试片的刚性：

在喷丸前，阿尔门试片是平面矩形梁，其主要尺寸为宽度W=19.05 mm，长度=76.2 mm。平面矩形梁的刚性I由经典弹性等式给出：

I=宽度x厚度³/12 或者

I=Wt³/12                                                                                                             (1)

请注意，刚性仅取决于宽度和厚度立方，与梁的长度无关。如果我们将N、A和C试片的宽度和厚度的已知值代入等式(1)，可以得到：

I_N=19.05 X 0.79³/12 mm⁴，

I_A=19.05 X 1.3³/12 mm⁴，及

I_C=19.055 X 2.39³/12 mm⁴

因此：

I_N=0.78 mm⁴，I_A=3.49 mm⁴和I_C=21.67 mm⁴                                                   (2)

我们在等式 (2)中看到，与常识一致，试片越厚，刚性越强。如果我们把等式(1)中的宽度改为76.2 mm，我们得到的刚性值正好是等式 (2)中的值的四倍。这向我们表明，“展向”弯曲阿尔门试片的难度是“纵向”弯曲的四倍。同样，这与通常的观察结果一致，例如，当试图将尺子沿着其长度弯曲时。

弯矩：

弯矩M定义为力F乘以从该力到中性轴的距离D。图4显示了一个简单的例子，力被施加到一个梁上，该梁被用作围绕支点O的杠杆。距离支点D处的力F与距离支点D/10处的力10F平衡。在支点O处，我们有一个F.D.的弯矩和一个11F的向上力。对矩形梁施加弯矩会使其弯曲。弯曲度可以方便地用“曲率”表示。曲率是弯曲半径R的倒数。因此，诱导曲率为1/R，与弯矩大小直接成正比。换句话说，“弯矩越大，诱导曲率越大”。

需要注意的是：

                              (a) 为了达到平衡，必须平衡“顺时针”和“逆时针”的弯矩，以及

                              (b) 引起弯曲的是弯矩，而不是力。

图4：简支梁，力F在距离支点O的距离D处，平衡力10F在距离支点O的距离D/10处

阿尔门试片的弯矩：

当阿尔门试片受到压缩力冲击时，力F被引入平行于冲击表面，但不完全施加在冲击表面。该力在试片上施加弯矩，该弯矩最初由压紧螺钉限制。释放试片进行测量时，限制被消除。因此，阿尔门试片进一步弯曲，随后将其弯曲位移记录为阿尔门弧高。

力是应力与应力作用面积的乘积。我们关注的主要应力是表面层内喷丸引起的残余压应力。应力作用的面积大约是压缩层的深度乘以试片的宽度。

为了计算在喷丸过程中产生的弯矩，我们需要对残余应力分布、力和距离进行计算。我们通过对工况建立“模型”来简化计算。在科学和工程领域中，建模是一种常见的方法，它既可以简化所涉及的数学关系，也可以通过可用的数学程序生成可行的解决方案。如果使用残余应力分布模型，则可极大简化喷丸过程中产生的弯矩的量化问题的解决方案。基于两种次表层拉应力分布，我们考虑了两种残余应力分布模型。

模型A

图5显示了一种工况的模型其中试片上表面已被喷丸，在厚度为t的试片中形成深度为d的压缩层。假设喷丸一个面产生的力F平行于但不作用于最外表面，则可以假设力作用在距离试片中性轴一定距离(t/2-d/2)处。该力必须由作用在喷丸表面下方的相等且作用方向相反的力F来平衡。这种力来自于A型均匀水平的拉应力。在这个模型中，平衡张力作用于中性轴与压缩喷丸力相对的一侧。这两种力都对试片施加弯矩。因为这两个力位于中性轴的对侧，它们将产生作用于同一方向的弯矩。该模型假设压缩喷丸表面下的拉伸残余应力几乎是恒定的。

下一个问题是估量将出现在试片中的弯矩。

图5使用A型拉伸残余应力分布时的经夹紧、喷丸的阿尔门试片的弯矩来源

作用在图5所示试片上的弯矩MA由以下等式给出：

M_A=F(t/2-d/2)+F.d/2，简化为：

M_A=F.t/2                                                                                                                   (3)

等式(3)告诉我们，使用模型A，诱导弯矩直接取决于力的大小和试片厚度。将已知的阿尔门试片厚度代入等式(3)中，得出：

M_N=F.O.79mm/2，M_A=F.1.30mm/2和M_c=F.2.39/2                                                (4)

因此，对于恒定的诱导力F，弯矩随试片厚度线性增加。

模型B

图6显示了喷丸过程中残余应力分布的不同模型。模型是，不将平衡力均匀地分布在未喷丸的截面上，而是假设平衡力与压缩的表层相邻，位于表面以下的深度m处。在该模型中，压缩喷丸力和平衡张力作用在中性轴的同一侧。因为这两个力位于中性轴的同一侧，所以它们会产生反方向作用的弯矩。

作用在图6所示试片上的弯矩MB由以下等式给出：

M_B=F(t/2-d/2)-F(t/2-m)，简化为：

 M_B=F(m-d/2)                                                                                                            (5)

等式(5)告诉我们，使用模型B，诱导弯矩直接取决于力的大小，但与试片厚度无关。

弯矩引起的曲率：

对于弹性弯曲梁，弯矩M和曲率1/R之间的关系由以下著名的公式决定：

M=E.I.1/R                                                                                                                   (6)

其中E是弹性模量，I是刚性。

从教育的角度来看，等式(6)是一个典型的例子，说明了我们如何将变量之间的相互关系可视化。左侧M必须等于右侧（即三个变量E、I和1/R的乘积）。因此，如果M增加，则一个或多个右侧变量必须增加以保持相等。例如，对于给定类型的阿尔门试片，E和I都是常量（希望如此）。因此，喷丸强度的任何增加（增加M）必须伴随着曲率的相等增加。

图6使用模型B拉伸残余应力分布的经夹紧、喷丸后的阿尔门试片中的弯矩来源

我们可以重新排列等式(6)得出：

1/R=M/(E.I)                                                                                                                 (7)

如果我们把I=Wt³/12代入等式（7），我们得到：

1/R=M/(E.Wt³/12)                                                                                                      (8)

模型A

如果我们把M=Ft/2代入等式(8)，我们得到：

1/R=(Ft/2)/(E.Wt³/12) 简化为：

1/R=6F/(E.Wt²)                                                                                                           (9)

现在我们可以假设，在固定喷丸强度下的阿尔门试片，F、E和W都是常数。随后将情况进一步简化为：

1/R=K/t²                                                                                                                    (10)

其中K是一个等于6F/(E.W)的常数,

等式(10)表示，固定喷丸强度下的阿尔门试片的曲率与其厚度成反比。将已知的阿尔门试片N、A和C的厚度代入等式(10)得出：

1/RN=K/(0.79 mm)2，1/RA=K/(1.30 mm)²和1/RC=K/(2.39 mm)².

因此

l/RN/l/RA=2.71/1和1/RA/l/Rc=3.38/l                                                                        (11) 

模型B

如果我们将等式(5)中给出的弯矩值MB代入等式(8)中，得到：

1/R=F.(m-d/2)/(E.Wt³/12)，简化为：

l/R=C/t³                                                                                                                     (12)

其中C是一个常数，等于12F(m-d/2)/E.W

将已知的阿尔门试片N、A和C的厚度代入等式(10)得出：

1/R_N=C/(0.79 mm)2，1/R_A=C/(1.30 mm)²和1/R_C=C/(2.39 mm)².

因此

l/R_N/l/R_A=4.46/1和1/R_A/l/R_c=6.21/l                                                                        (13) 

曲率与弧高的关系：

我们还需要研究曲率和阿尔门弧高h之间的关系。图1示出喷丸后的阿尔门试片位于四个规球上的部分，试片在A、B、C和D处与规球接触。纵向和横向曲率都施加在试片上。因此，阿尔门弧高由下式给出：

h=hl+h2                                                                                                                     (14)

如果我们假设曲率是常数1/R，则弧AEB和ELG是圆形的。高度h1和h2可以使用“相交弦定理”估计。已知    h1=(AB²/4).1/R和h2=(EG²/4).1/R。

因此：

h1+h2=(AB²/4+EG²/4).1/R或

h=( AB²/4+EG²/4).1/R                                                                                               (15)

AB是阿尔门测具的两个规球之间的固定主距离。EG也是固定的，等于BC，BC是支撑球之间的固定小距离。因此，(AB2/4+EG2/4)具有一个常数值K。因此，我们可以将等式（15）表示为：

h=K.1/R                                                                                                                      (16)

由等式(16)可知，等式(11)可表示为：

h_N/h_A=2.71/1，及h_A/h_C=3.38/1                                                                              (17)

等式(13)可以类似地表示为：

h_N/h_A=4.46/1，及h_A/h_C=6.21/1                                                                              (18)

阿尔门弧高比的实验验证：

等式(17)和(18)中给出的比率分别低于和高于通常引用的经验值（3/1和3.5/l）。这些经验值在已应用的喷丸强度中是不符合的-除了必须对任何给定的试片对应用相同的强度。作者不知道已经发表的有关阿尔门弧高和试片厚度的大量数据。因此，决定通过实验研究这些假定的关系。

表1中所示的比率适用于在一定气压和喷丸流量范围内喷丸的八对试片。在喷嘴与试片固定距离332 mm的情况下，使用S170铸钢丸对所有试片进行喷丸达120s。平均N/A比率接近模型A的预测，而A/C比率大大高于模型A的预测。这两个平均比率都大大低于用模型B预测的比率。

讨论和结论：

结果表明，不同阿尔门试片厚度时，弯矩和刚性的综合作用是造成挠度差异的主要原因。

在假定A型拉应力分布的情况下，根据两个参数预测的N/A和A/C试片的挠度比分别为2.71和3.38。这些与各种标准出版物中给出的3.0和3.5比率相似，但不完全相同。如果假设B型拉伸残余应力分布，则N/A和NC试片的预测曲率比要大的多，分别为4.46和6.21。因此，A型应力分布给出的值比B型分布更接近公布的值。

表l中给出的N/A挠度的实测比值为2.753。该值与用模型A预测的值接近，表明A型拉伸残余应力分布占主导地位。实测的A/C挠度比为4.198，明显大于模型A预测的3.38。这可以通过假设实际拉伸残余应力分布是A型和B型的复合物来解释。

表1 喷丸120s后的阿尔门试片的弧高

这假设源于这样一个事实，即A/C研究中应用的喷丸强度都比N/C研究中应用的喷丸强度大得多。喷丸强度越高，表面加工硬化越大。图7显示了复合应力分布的示意图。图7所示的分布与残余应力剖面测量中通常遇到的分布很接近。FA和FB表示与两个分量相关的有效力，FA远大于h。

必须认识到，用于预测挠度的模型是非常简单的，是基于纯粹的弹性行为的，而不是喷丸阿尔门试片中实际发生的混合弹性/塑性行为。尽管如此，这些模型还是与实际观测结果相吻合。研究模型在更大数据集上的应用将是有益的。特定而言，需要研究丸料尺寸的影响。

未来的研究将包括研究N/A和A/C弧高比随喷丸时间的变化，以及试片厚度对“饱和时间T”的影响。

图7 在复合A型和B型拉伸应力分布情况下，经夹紧、喷丸后的阿尔门试片的弯矩起源。